Cálculo estocástico aplicado à precificação de ativos no mercado financeiro

Abstract

Nesta dissertação, iniciamos com uma revisão dos conceitos fundamentais de Teoria da Medida, Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos, essenciais para o desenvolvimento do cálculo estocástico. Em seguida, construímos a integral de Itô para processos reais e vetoriais que sejam progressivamente mensuráveis com relação à filtração natural do processo de Wiener e quadrado-integráveis com respeito à medida produto λ ⊗P, destacando suas principais propriedades e formulando a versão multidimensional da fórmula de Itô. Apresentamos também os teoremas centrais de representação de martingales e de mudança de medida (Girsanov), fundamentais para aplicações em finanças. Com base nessas ferramentas, modelamos mercados financeiros de dimensão finita arbitrária por meio de equações diferenciais estocásticas, demonstrando a ausência de arbitragem e a completude do mercado sob a existência de uma medida martingale equivalente. Estabelecemos, então, a fórmula geral de precificação de opções europeias, p(F) = EQ[ξTF], e construímos o portfólio de hedge associado, por meio da equação ξtθˆ tσt = φt , com φ obtido via teorema de representação. Por fim, aplicamos essa estrutura teórica ao modelo generalizado de Black–Scholes, no qual os coeficientes de juros e volatilidade são funções do tempo, obtendo fórmulas explícitas para a precificação e a cobertura de opções europeias, sendo o modelo clássico recuperado como caso particular.