Equação logística com condições de contorno de Robin e coeficientes indefinidos

Abstract

Neste trabalho, nos baseamos no artigo de Umezu [22] e estudamos existência e unicidade de soluções para a seguinte equação logística estacionária    −∆u = λ(g(x)−cu)u em Ω, ∂u ∂ η = λh(x)u sobre ∂Ω, (1) onde Ω é um domínio limitado do R N , N ≥ 2, com fronteira ∂Ω regular, λ um parâmetro real, g ∈C θ (Ω) e h ∈C 1+θ (∂Ω), 0 < θ < 1, ambas podem mudar de sinal, c é uma constante não negativa e η = η(x) denota o vetor normal unitário exterior em x ∈ ∂Ω. Salientamos que a equação (1) provém de um modelo de dinâmica de populações, e portanto, nos interessa encontrar as soluções positivas para λ > 0. Com o auxílio de métodos variacionais (Multiplicadores de Lagrange e Minimização), estudamos o problema de autovalor, isto é, o problema (1) com c = 0. Em seguida, via método de sub e supersolução estabelecemos a existência, não existência e unicidade das soluções positivas do problema (1) com c > 0. Por fim, obtemos estimativas a priori e analisamos o comportamento assintótico das soluções com respeito ao parâmetro λ.