On pyramidal groups of prime power degree and the number of cyclic subgroups

Abstract

Seja G um grupo finito. Uma involução de G é um elemento de G de ordem 2. G é chamado de piramidal se todas as involuções de G forem conjugadas em G, e G é chamado de m-piramidal se for piramidal e tiver precisamente m involuções, onde m é um inteiro positivo. Os grupos piramidais podem ser interpretados como grupos específicos de automorfismos de certas estruturas combinatórias chamadas de sistemas triplos de Kirkman piramidais, que foram objeto de estudo em artigos recentes (veja [1, 2]). Mais especificamente, um grupo m-piramidal age como grupo de automorfismos de um sistema triplo de Kirkman piramidal, regularmente em todos os pontos exceto m pontos fixos. Obviamente, a ordem de um grupo m-piramidal G está fortemente relacionada ao número de vertices de um sistema triplo de Kirkman piramidal. Bonvicini, Buratti, Garonzi, Rinaldi e Traetta [2] forneceram algumas propriedades de grupos 3-piramidais e o conjunto de ordens para tais grupos. Nosso objetivo é provar que, se m é uma potência de um primo ímpar p k onde p ̸= 7, então todo grupo m-piramidal é solúvel se e somente se m = 9 ou k é ímpar. Também determinamos as ordens dos grupos m-piramidais quando m ̸= 7 é um número primo. Além disso, obtemos uma classificação dos grupos 3-piramidais. Posteriormente, são discutidos os números de subgrupos cíclicos e subgrupos cíclicos maximais de G. Uma família de grupos é chamada (maximal) cyclic bounded ((M)CB) se, para cada número natural n, existem apenas um número finito de grupos na família com no máximo n subgrupos cíclicos (maximais). Neste tópico, provamos que a família de grupos de ordem de potência de primo é MCB. Provamos também que a família de grupos finitos sem fatores diretos coprimos cíclicos é CB. Como consequência, um número natural n ⩾ 10 é primo se, e somente se, houver apenas um número finito de grupos finitos com precisamente n subgrupos cíclicos. O conteúdo dessa tese consiste dos artigos [8, 9, 10]. O primeiro deles foi publicado no Journal of Algebra, os outros dois foram submetidos para publicação.