Commuting probability in compact groups

Abstract

Seja G um grupo topológico compacto com um subgrupo fechado K e medidas de Haar normalizadas e , respectivamente. Considere o subconjunto fechado C = f(x; y) 2 KGj xy = yxg de KG e dena a probabilidade de comutação relativa de K em G por Pr(K;G) = ()(C). Esse valor representa a probabilidade de escolher aleatoriamente um elemento de K e um de G que comutam. Se K = G, obtemos a probabilidade de comutação de G, uma medida de quão abeliano o grupo é. Ao longo do tempo, estudou-se o impacto dos valores Pr(G) e Pr(K;G) na estrutura de G. Por exemplo, um teorema de P.M. Neumann [40] assegura que, se G é nito e é um número positivo, Pr(G) implica que G possui subgrupo H tal que [G : H] e jH0j são -limitados. Nosso objetivo é o de estudar propriedades similares relacionadas à probabilidade de comutação relativa. Em [9], Detomi e Shumyatsky obtêm resultados estruturais sobre um grupo nito G admitindo subgrupo K tal que Pr(K;G) . Eles provam que existem subgrupos T de G e B de K tais que os índices [G : T] e [K : B] e a ordem de [T;B] são -limitados. Nós estendemos esse resultado para grupos compactos e demonstramos alguns corolários. Se G é um grupo topológico compacto e x 2 G, denote por hxi o subgrupo fechado gerado por x. Será demonstrado que, se Pr(hxi;G) para todo x em um subgrupo fechado K de G, então existem um subgrupo aberto T de G e um inteiro e tais que o índice [G : T] e o número e são -limitados e [T;Ke] = 1. Este resultado representa uma interpretação probabilística da noção de expoente num grupo. Diversos corolários serão demonstrados, todos relacionados à noção de expoente de um grupo. Por m, consideramos a situação mais geral em que Pr(hxi;G) é positivo para todo x em K G. Provaremos que G possui subgrupo aberto T de forma que todo x 2 K possui uma potência xl, onde l não necessariamente é xo, que centraliza T.