Processos de Poisson e o custo mínimo esperado de transporte com sensores

Abstract

Neste trabalho, primeiro obtivemos uma fórmula fechada para a distância esperada E

|Xk+r − Yk|

entre eventos de dois processos de Poisson independentes com tempos de chegada X1, X2, . . . e Y1, Y2, . . . e, respectivas, taxas de chegada λ1 e λ2. Em seguida, foi encontrado um intervalo para a soma Copt = Pn i=1 E

|Xk − Yk|

. Para o caso particular em que as taxas de chegada dos dois processos λ1 e λ2 são iguais a λ > 0, a fórmula analítica fechada para o custo mínimo esperado de transporte Copt(λ, n) = 2n 3λ

n + 1 2 n

,

foi determinada por Kranakis (2014). Como segundo resultado, com o uso da função H de Fox, encontramos o a-ésimo momento absoluto da diferença entre eventos de dois processos de Poisson independentes com tempos de chegadas X1, X2, . . . e Y1, Y2, . . . e, respectivas taxas λ1 e λ2,

E

|Xk+r − Yk| a

= a!(−1)a λ a 2 Xa j=0 (k + r) (j) j! k (a−j) (a − j)! −λ2 λ1 j − 2I2 × 1[mod2](a),

em que

I2 = (−1)a (λ1/λ2) k+r Γ(a + 1)Γ(a + r + 2k) λ a 2 Γ(k)Γ(1 + k + r + a)

× 2F1 a + 2k + r; k + r; 1 + k + r + a; − λ1 λ2

,

iii

1[mod2](a) =    1, a ímpar 0, a par

e 2F1 é a função hipergeométrica de Gauss.

Uma potencial aplicação de Copt(λ1, λ2, n) é para o cálculo do custo mínimo de transporte do movimento de sensores alocados conforme os processos {Xi , Yj}.