Sobre o Método de Mahler para transcendência

Abstract

Seja $\mathfrak{a}=(a_n)_{n\geq 0}$ uma sequência de inteiros positivos. Neste trabalho, estudamos o comportamento aritmético de valores da função $f_\mathfrak{a}(z)=\sum_{n\geq 0}z^{a_n}$. Primeiro, no caso de uma sequência superexponencial $\mathfrak{a}$, mostramos (em particular) que $f_\mathfrak{a}(\alpha)$ é um número transcendente, para todo número algébrico não nulo $\alpha\in B(0,1)$. Depois disso, o objetivo principal é estudar o caso em que $\mathfrak{a}$ é uma sequência exponencial. Para isso, apresentamos e usamos o chamado Método de Mahler (que é particularmente útil para funções que satisfazem alguma equação funcional) para obter resultados de transcendência sobre valores de funções em argumentos algébricos.