Soma de Potências de Números Consecutivos de Fibonacci k-Generalizados

Abstract

Uma generaliza c~ao conhecida da sequ^encia de Fibonacci, chamada de sequ^encia de Fibonacci k-generalizada (F(k) n )n, e de nida pelos valores iniciais 0; 0; : : : ; 0; 1 (k termos) e tal que cada termo subsequente e a soma dos k termos anteriores. Motivados pela identidade F2 n + F2 n+1 = F2n+1, Chaves e Marques, em 2014, provaram que a equa c~ao Diofantina (F(k) n )2 + (F(k) n+1)2 = F(k) m n~ao possui solu c~oes em inteiros positivos n; m e k, com n > 1 e k 3. Depois disso, outras generaliza c~oes foram feitas por Freitas et al., trocando F(k) m por F(l) m com l > k, e por Luca e Ruiz, que mostraram que (F(k) n )s + (F(k) n+1)s = F(k) m n~ao tem solu c~ao com k 3 e s 2. Neste trabalho, estudamos a equa c~ao generalizada (F(k) n )s + (F(k) n+1)s = F(l) m , obtendo limitantes efetivos para as vari aveis e resolvendo completamente alguns casos particulares.