Um estudo de grupos nilpotentes : o problema do isomorfismo para grupos de classe 2 : endomorfismos virtuais

Abstract

Dado um endomorfismo virtual de um grupo G conseguimos uma representação fechada por estados (ou auto-similar) de G na árvore m-ária uni-raiz, para um conveniente número natural m. Propriedades específicas são extraídas no caso em que G é nilpotente finitamente gerado livre-de-torção. Com hipóteses adicionais sobre G, obtemos limitações para o comprimento derivado e para a classe de nilpotência de G em função de m. Em nosso trabalho buscamos também resolver o problema do isomorfismo para grupos nilpotentes de classe 2 finitamente gerados e livres-de-torção, chamados de T2-grupos. Uma questão que surge naturalmente é se os quocientes finitos de um certo grupo o determinam a menos de isomorfismos. A resposta é negativa e os primeiros contra-exemplos, abordados no Cap. 1, surgem com grupos nilpotentes de classe 2. Finalmente, através de certos invariantes numéricos, apresentamos uma completa classificação para certas subclasses de T2-grupos. _______________________________________________________________________________________ ABSTRACT

Given a virtual endomorphism of a group G we have a state-closed (or self-similar) representation of G on a 1-rooted regular m-ary tree, for a convenient natural number m. Specific properties are extracted in case G is finitely generated torsion-free nilpotent group. Under additional hypothesis on G, we obtain bounds for the derived length and nilpotent class of G in function of m. In our work, we also investigate the solution for the isomorphism problem for finitely generated torsion-free nilpotent groups of class 2, called the T2-groups. A question that naturally arises is if the set of finite quotients of certain group determines it up to isomorphism. The answer is negative and the first counterexamples, developed in Chap. 1, arise with the nilpotent groups of class 2. Finally, through certain numerical invariants, we present a complete classification for certain subclasses of T2-groups.