O grupo finitário de isometrias da árvore n-ária

Abstract

Consideramos Tn uma árvore regular uni-raiz de valência n 2, A seu grupo de isometrias e G(n) o subgrupo de A das isometrias finitárias, onde uma isometria é dita finitária se ela é uma extensão rígida de uma permutação de um determinado nível. Estudamos em alguns detalhes a estrutura de G(n). Descrevemos, de maneira indutiva, como produzir representantes de classes de conjugação de isometrias de G(n) e determinamos explicitamente um sistema completo de representantes de suas classes de conjugação. Tomamos NA(G(n)) o normalizador de G(n) em A, EndA(G(n)) o semigrupo de endomorfismos de G(n) induzidos por conjugação por elementos de A. Mostramos que 2 EndA(G(n)) se e somente se existe uma sequência {gi}i 0 de elementos de G(n) tais que =...g(i) ... g(1) 1 g0 e que 2 EndFn(G(n)) se e somente se = (m)g para algum m 0, g 2 G(n), onde Fn é o subgrupo das isometrias com um número finito de estados, e a notação a(r) indica a isometria (a, a,..., a) com nr repetições. Investigamos condições em gi e em g tais que 2 NA(G(n)) e 2 NFn(G(n)). __________________________________________________________________________________________ ABSTRACT

We consider Tn the regular one-rooted n-ary tree, n 2, A its group of isometries and G(n) the finitary subgroup, where an isometry is said to be finitary if it is a rigid extension of a permutation of a certain level. We study in some details the structure of G(n). We construct inductively representatives of the conjugacy classes of G(n) and we determine explicitly a complete system of representatives of his conjugacy classes. We let NA(G(n)) be the normalizer of G(n) in A, EndA(G(n)) the semigroup of endomorphisms of G(n) induced by conjugation by elements of A. We show that 2 EndA(G(n)) if and only if there exists a sequence {gi}i 0 of elements of G(n) such that … g(i) i … g(1) 1 g0 and that 2 EndFn(G(n)) if and only if = (m)g for some m 0, g 2 G(n), where Fn is the subgroup of finite-state isometries and the notation a(r) indicates the isometry (a, a, … , a) with nr repetitions. We investigate conditions which gi, g should satisfy for 2 NA(G(n)) and 2 NFn(G(n)).