Processos estocásticos : difusão e crescimento

Abstract

Esta tese é dedicada ao estudo dos processos estocásticos relacionados à difusão e crescimento. Estudamos difusão normal e anômala descritas pela equação de Langevin generalizada. Mostramos que a violação da condição de mistura provoca violação na hipótese ergódica e no teorema de flutuação-dissipação de Kubo. A difusão balística e o oscilador harmônico aleatoriamente forçado violam essas condições. Mostramos que a função de correlação é par, o que exclui exponenciais, exponenciais esticadas e leis de potência. Entretanto para ruídos de banda larga estes casos aparecem como resultados assintóticos. Deste modo uma difusão normal pode apresentar um decaimento exponencial para um tempo t>> s, enquanto a difusão anômala apresenta um decaimento tipo Mittag-Leffler. Para curta escala de tempo t<< s a função de correlação tem um comportamento cossenoidal. Mostramos também que a difusão normal para um tempo maior que o de relaxação torna-se Markoviano, mesmo que o processo inicial seja não-markoviano. Apresentamos o modelo de corrosão proposto por Mello, Chaves e Oliveira e a partir dele propusemos uma metodologia para se obter a equação da evolução da rugosidade. A metodologia se baseia na relação entre as configurações do modelo e superfícies de hiperesferas. Analisamos as limitações da metodologia e propomos uma alteração na equação de modo que ela passa a descrever bem as simulações. ______________________________________________________________________________ ABSTRACT

This thesis is dedicated to the study of stochastic processes related to diffusion and growth. We study normal and anomalous difusion described by the generalized Langevin equation. We show that the violation of the mixing condition induces violation in the ergodic hypothesis and in the uctuationdissipation theorem. The ballistic difusion and the random forced harmonic oscillator violate these conditions. We show that the correlation function is even, what excludes exponential, stretched exponential and power laws. However for broad band noise these cases appear as an asymptotic resulted. In this way the correlation function for normal difusion behaves as an exponential for a time t >> Ts, while for anomalous difusion it behaves as a Mittag-Leffler function. For short time scale t << Ts the correlation function has a cossenoidal behavior. We also show that in the normal difusion for times larger than the relaxation time, the correlation function becomes Markovian even when the initial process is non-Markovian. We show the model of etching proposed by Mello, Chaves and Oliveira, and we proposed a methodology to get the equation for the evolution of the roughness. The methodology considered the model configurations and the surfaces of hyperspheres. We analyze the limitations of the model and we proposed an equation that describes well the simulations.