Formas de grau 3m sobre extensões quadráticas de Q3

Abstract

Sejam K uma extensão finita de Qp, o corpo nos números p-ádicos, e OK o anel de inteiros de K. Seja f = a1x d 1 +···+asx d s com a1,..., as ∈ OK. Defina Γ ∗ K(d) como sendo o menor inteiro positivo tal que f = 0 tem solução não trivial em K sempre que s ≥ Γ ∗ K(d), independentemente da escolha dos coeficientes de f. Em 2021, Duncan e Leep estudaram formas de grau 2m com m ≥ 3 ímpar sobre extensões quadráticas ramificadas de Q2 e mostraram que Γ ∗ K(d) =    3 2 d para K ∈ {Q2( √ ±2),Q2( √ ±10}, d+ 1 para K ∈ {Q2( √ −1),Q2( √ −5)}. Neste trabalho, estudamos o caso em que K é uma extensão quadrática de Q3 e d = 3m com (3,m) = 1 e m ≥ 2. Obtemos que Γ ∗ K(d) ≤ 3d+1 quando d é ímpar e Γ ∗ K(d) ≤ 14d+1 quando d é par. Obtemos também uma estimativa para Γ ∗ K(d) com K extensão quadrática de Qp e d = pm com (p,m) = 1 e m ≥ 2. Como aplicação, determinamos limitantes para Γ ∗ K(15) e Γ ∗ K(6) com K/Qp quadrática.