Sobre grupos finitos nos quais os comutadores têm ordens potência de primo

Abstract

O estudo de grupos nos quais cada elemento tem ordem potência de primo (EPPO-grupos) foi iniciado em trabalhos pioneiros de G. Higman e M. Suzuki. Hoje em dia os EPPO-grupos finitos são bem conhecidos. Por exemplo, é conhecido que se G é um EPPO-grupo finito solúvel, então a altura de Fitting de G é no máximo 3 e |π(G)| ⩽ 2. Mais do que isto, se G é não solúvel, então o radical solúvel R(G) de G é um 2-grupo e o grupo quociente G/R(G) pertence a uma lista de exatamente 9 grupos determinada por Suzuki. No presente trabalho nos concentramos em grupos nos quais todo comutador tem ordem potência de primo (CPPO-grupos). Mostramos que se G é um CPPO-grupo finito, então a estrutura de G ′ é similar à de um EPPO-grupo. Em particular, mostramos que qualquer CPPO-grupo finito solúvel G tem altura de Fitting no máximo 3 e que |π(G ′ )| ⩽ 3. Mais do que isto, se G é não solúvel, então R(G ′ ) é um 2-grupo e G ′ /R(G ′ ) é isomorfo a um EPPO-grupo simples.