Nonautonomous and non periodic Schrödinger equation with asymptotic growth in Rn

Abstract

Neste trabalho, intitulado Equação de Schödinger não-autônoma e não periódica com crescimento assintótico no R N , consideramos o problema    −div(ξ(x)∇u) +V (x)u = f(x,u), em R N , u(x) → 0, quando |x|→ ∞, (P) com N ≥ 3, ξ : R N → R + e V : R N → R satisfazendo algumas condições e a não linearidade f assintoticamente linear no infinito e assumimos ser de classe C 1 (R N ×R,R). Na primeira parte mostramos a existência de solução positiva com V (x) ≡ 1 no primeiro capítulo e V (x) positiva no segundo capítulo. Em seguida, estamos em busca de solução nodal. Para tanto, assumimos algum tipo de simetria para o problema. Mais especificamente, consideramos o problema    −div(ξ(x)∇u) +V (x)u = f(x,u), em R N , u(τ x) = −u(x), u(x) → 0, quando |x|→ ∞, (Pτ ) com N ≥ 3 e τ : R N → R N uma involução ortogonal não trivial que é uma tranformação ortogonal em R N tal que τ ̸= Id e τ 2 = Id, sendo Id o operador identidade em R N . Uma solução u do problema (Pτ ) é chama τ− antissimétrica. Assim como na primeira parte, consideramos V (x) ≡ 1 no primeiro capítulo e V (x) positiva no segundo capítulo. Finalmente, buscamos a existência de uma solução não trivial para o problema (P) com o potencial V mudando de sinal. Estabelemos que V possui um limite positivo no infinito e que o espectro do operador Lu = −div(ξ(x)∇u) +V (x)u tem ínfimo negativo. Com isso, e com base nas interações entre soluções transladadas do problema no infinito associado, é possível mostrar que tal problema satisfaz a geometria do Teorema de Linking e garantir a existência de uma solução fraca não trivial.