Coverings and pairwise generation of some primitive groups of wreath product type

Abstract

O número de cobertura de um grupo finito não cíclico G, denotado por σ(G), é o menor inteiro positivo k tal que G é uma união de k subgrupos próprios. Se G é um grupo 2- gerado, seja ω(G) o tamanho máximo de um subconjunto S de G com a propriedade de que quaisquer dois elementos distintos de S geram G. Uma vez que qualquer subgrupo próprio de G pode conter no máximo um elemento de tal conjunto S, ω(G) é no máximo σ(G). Para uma família de grupos primitivos G com um único subgrupo normal mínimo N isomorfo a uma potência direta do grupo alternado An e G/N cíclico, calculamos σ(G) para n divisível por 6 e m pelo menos 2. Este resultado é uma generalização de um resultado de E. Swartz relativo aos grupos simétricos, que corresponde ao caso m = 1. Para a família de grupos primitivos G acima, também provamos um resultado relativo à geração 2-a-2: para m fixo e pelo menos 2 e n par, calculamos assintoticamente o valor de ω(G) quando n vai para o infinito e mostramos que ω(G)/σ(G) tende para 1 quando n tende para infinito.