Sobre versões assintóticas dos problemas A e C de Mahler

Abstract

A natureza aritmética de um número que é imagem de um número algébrico por uma função transcendente é um tema estudado por vários matemáticos desde o século XIX. Um dos principais interessados nesse tipo de problema foi Mahler, que propôs questões de grande interesse em Teoria Transcendentes dos Números. Uma dessas questões trata da existência de uma função transcendente com coeficientes inteiros e limitados que assume valores algébricos em pontos algébricos. O primeiro objetivo deste trabalho, é mostrar a existência de uma tal função, porém com quase todos os coeficientes limitados.Mostraremos ainda a existência de uma função transcendente f ∈ Z{z} com quase todos os coeficientes limitados tal que f e todas as suas derivadas levam algébricos em algébricos.Um outro problema proposto por Mahler questiona se existem funções transcendentes com um conjunto excepcional prescrito. Relacionado a esse problema, mostramos que certos subconjuntos de números algébricos são conjuntos excepcionais de alguma função transcendente f ∈ Z{z} com quase todos os coeficientes limitados.