http://repositorio.unb.br/handle/10482/49628
Arquivo | Descrição | Tamanho | Formato | |
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HerculesDeCarvalhoBezerra_TESE.pdf | 534,09 kB | Adobe PDF | Visualizar/Abrir |
Título: | Álgebras de Lie restritas apenas infinitas |
Autor(es): | Bezerra, Hercules de Carvalho |
Orientador(es): | Petrogradskiy, Victor |
Assunto: | Lie, Álgebra de Álgebra |
Data de publicação: | 7-Ago-2024 |
Data de defesa: | 27-Fev-2023 |
Referência: | BEZERRA, Hercules de Carvalho. Álgebras de Lie restritas apenas infinitas. 2023. 90 f. Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Brasília, 2023. |
Resumo: | Neste trabalho, construímos exemplos análogos aos grupos de Grigorchuk e GuptaSidki, que desempenham um papel importante na teoria de grupos moderna, pois são exemplos naturais de grupos periódicos finitamente gerados autossimilares, no campo das álgebras de Lie restritas. Em 2021, Petrogradsky e Shestakov construíram um exemplo de uma superálgebra de Lie apenas infinita Q, 3-gerada, sobre um corpo arbitrário, que dá origem a um fecho associativo, uma superálgebra de Poisson, e duas superálgebras de Jordan. Devido à forma como essas cinco superálgebras foram construídas, foi possível obter uma base monomial clara para essas álgebras, além de estudar sobre a estrutura, crescimento e outras propriedades de cada uma delas. Neste trabalho, construímos uma álgebra de Lie (restrita) L, sobre um corpo de característica positiva p, que dá origem a um fecho associativo A, e uma álgebra de Poisson P. Apresentamos no trabalho as seguintes propriedades: L e A são N 3 -graduadas por multigrau em seus geradores. Exibimos uma base monomial de L e mostramos que L e A têm crescimento polinomial lento. Também provamos que a álgebra de Lie L é apenas infinita, L tem N 3 0 -graduação com componentes no máximo uni-dimensionais, além disso a álgebra de Lie restrita Lp é uma álgebra nil. Mostramos que os pontos do reticulado Z 3 correspondentes aos componentes das Z 3 -graduções de L, A, e envelopante restrita sem unidade u = u(L), pertencem a um sólido do tipo paraboloide de rotação. Usando esta observação provamos que L, A, e u são somas diretas de duas subálgebras localmente nilpotentes e existem infinitas dessas decomposições. Chamamos L, A e P álgebras fractais pois elas contêm infinitas cópias delas mesmas. |
Abstract: | In this work, we build examples analogous to Grigorchuk and Gupta-Sidki groups, which play an important role in modern group theory as they are natural examples of self-similar finitely generated periodic groups, in the field of restricted Lie algebras. In 2021, Petrogradsky and Shestakov constructec an example of just infinite, 3-generated, Lie superalgebra Q over an arbitrary field, which gives rise to an associative closure, a Poisson superalgebra, and two Jordan superalgebras. Due to the way these five superalgebras were constructed, it was possible to obtain a clear monomial basis, in addition to study the structure, growth, and other properties of each one of them. Now, we construct a (restricted) Lie algebra L, over a field os any positive characteristic p, which gives rise to an associative closure A, and a Poisson algebra P. We present in the work the following properties: L and A are N 3 -graded by multidegree in the generators. We exhibit a monomial basis of L, and show that L and A have slow polynomial growth. We also prove that the Lie algebra L is just infinite, L has N 3 -grading with at most onedimensional components, in addition that the restricted Lie algebra Lp is a nil algebra. We show that the lattice points of Z 3 corresponding to Z 3 -graded components of L, A and the restricted enveloping algebra without unit u = u(L), belong to a paraboloid type body of rotation. Using this observation we prove that L, A and u are direct sum of two locally nilpotent subalgebras and there are infinitely many such decompositions. We call L, A and P fractal algebras because these contain infinite copies of themselves. |
Unidade Acadêmica: | Instituto de Ciências Exatas (IE) Departamento de Matemática (IE MAT) |
Informações adicionais: | Tese (doutorado) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2023. |
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Aparece nas coleções: | Teses, dissertações e produtos pós-doutorado |
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