Álgebras de Lie restritas apenas infinitas

Abstract

Neste trabalho, construímos exemplos análogos aos grupos de Grigorchuk e GuptaSidki, que desempenham um papel importante na teoria de grupos moderna, pois são exemplos naturais de grupos periódicos finitamente gerados autossimilares, no campo das álgebras de Lie restritas. Em 2021, Petrogradsky e Shestakov construíram um exemplo de uma superálgebra de Lie apenas infinita Q, 3-gerada, sobre um corpo arbitrário, que dá origem a um fecho associativo, uma superálgebra de Poisson, e duas superálgebras de Jordan. Devido à forma como essas cinco superálgebras foram construídas, foi possível obter uma base monomial clara para essas álgebras, além de estudar sobre a estrutura, crescimento e outras propriedades de cada uma delas. Neste trabalho, construímos uma álgebra de Lie (restrita) L, sobre um corpo de característica positiva p, que dá origem a um fecho associativo A, e uma álgebra de Poisson P. Apresentamos no trabalho as seguintes propriedades: L e A são N 3 -graduadas por multigrau em seus geradores. Exibimos uma base monomial de L e mostramos que L e A têm crescimento polinomial lento. Também provamos que a álgebra de Lie L é apenas infinita, L tem N 3 0 -graduação com componentes no máximo uni-dimensionais, além disso a álgebra de Lie restrita Lp é uma álgebra nil. Mostramos que os pontos do reticulado Z 3 correspondentes aos componentes das Z 3 -graduções de L, A, e envelopante restrita sem unidade u = u(L), pertencem a um sólido do tipo paraboloide de rotação. Usando esta observação provamos que L, A, e u são somas diretas de duas subálgebras localmente nilpotentes e existem infinitas dessas decomposições. Chamamos L, A e P álgebras fractais pois elas contêm infinitas cópias delas mesmas.