Residual nilpotente de grupos finitos

Abstract

Seja A um grupo agindo por automorfismos sobre um grupo finito G. O objetivo deste trabalho é demonstrar que propriedades do residual nilpotente de CGpaq, onde a P A, estão relacionadas às correspondentes propriedades do residual nilpotente de G. Considerando um grupo diedral D “ xα, βy, gerado por duas involuções α e β, agindo coprimamente por automorfismos sobre um grupo finito G de tal forma que CGpαβq “ 1, mostramos que a ordem e o posto de γ8pGq são limitados, respectivamete, em função de |D| e da ordem e do posto de γ8pCGpαqq e γ8pCGpβqq. Agora sejam um p-grupo finito P agindo por automorfismos sobre um grupo finito G de tal forma que CGpMq “ 1, onde M é um subgrupo maximal de P, e todos os elementos em PzM tem ordem p. Mostramos que se γ8pCGpxqq tem ordem no máximo m para qualquer x P PzM, então γ8pGq tem ordem limitada em função de m e da ordem de P. Além disso, se γ8pCGpxqq tem posto no máximo r para qualquer x P PzM, então γ8pGq tem posto limitado em função de m e da ordem de P. Por fim, consideramos um grupo de Frobenius F H com núcleo F e complemento H, agindo coprimamente por automorfismos sobre um grupo finito G de tal forma que CGpFq “ 1 e mostramos que se γ8pCGpHqq tem ordem no máximo m, então γ8pGq tem ordem limitada apenas em função da ordem do complemento H e da ordem de γ8pCGpHqq. Além disso, o posto de γ8pGq é limitado apenas em termos da ordem do complemento H e do posto de γ8pCGpHqq.