Grupos de Galois de corpos de funções com ramificação prescrita

Abstract

O objetivo dessa dissertação é de entender o do fenômeno de ramificação.Por um lado, investigamos o que acontece no caso mais clássico e geométrico de superfícies de Riemann, explorando suas propriedades básicas, o significado de pontos de ramificação e de pontos galhados de uma função holomorfa entre superfícies, a definição de divisores e do gênero de uma superfície compacta e os célebres teoremas de Riemann-Roch e Riemann-Hurwitz. Procuramos exemplificar esses conceitos por meio de alguns exemplos e cálculos.Por outro lado, apresentamos o conceito de corpos de funções e, utilizando a linguagem de valorações, de lugares e de anéis de valoração, definimos para corpos de funções conceitos que, em algum sentido, são muito similares com os que estudamos no caso de superfícies de Riemann. É nossa intenção ressaltar a similaridade entre ambos os casos.Finalmente, no último capítulo, exploramos como o gênero de corpos de funções pode ser utilizado para provar resultados acerca de seus grupos de Galois; em particular, que o gênero e a ramificação de certos divisores primos influenciam profundamente na estrutura desses grupos profinitos.</dcvalue> <dcvalue element="description" language="pt_BR" qualifier="abstract">O objetivo dessa dissertação é de entender o do fenômeno de ramificação.Por um lado, investigamos o que acontece no caso mais clássico e geométrico de superfícies de Riemann, explorando suas propriedades básicas, o significado de pontos de ramificação e de pontos galhados de uma função holomorfa entre superfícies, a definição de divisores e do gênero de uma superfície compacta e os célebres teoremas de Riemann-Roch e Riemann-Hurwitz. Procuramos exemplificar esses conceitos por meio de alguns exemplos e cálculos.Por outro lado, apresentamos o conceito de corpos de funções e, utilizando a linguagem de valorações, de lugares e de anéis de valoração, definimos para corpos de funções conceitos que, em algum sentido, são muito similares com os que estudamos no caso de superfícies de Riemann. É nossa intenção ressaltar a similaridade entre ambos os casos.Finalmente, no último capítulo, exploramos como o gênero de corpos de funções pode ser utilizado para provar resultados acerca de seus grupos de Galois; em particular, que o gênero e a ramificação de certos divisores primos influenciam profundamente na estrutura desses grupos profinitos.