Fluxos de curvas no espaço hiperbólico e no cone de luz

Abstract

Estudamos os sólitons do fluxo redutor de curvas no espaço hiperbólico bidimensional e as soluções autossimilares do fluxo de curvatura e do fluxo curvatura de inversa no cone de luz bidimensional. No espaço hiperbólico, mostramos que uma curva é um sóliton do fluxo redutor de curvas se, e somente se, sua curvatura geodésica pode ser escrita como o produto interno entre o seu campo tangente e um vetor fixado do espaço de Minkowski tridimensional. Usamos essa caracterização do sóliton para fazer o estudo qualitativo. Mostramos que, para cada vetor fixado, existe uma família a 2- parâmetros de sólitons do fluxo redutor de curvas no espaço hiperbólico bidimensional. Além disso, provamos que cada sóliton é uma curva que está definida em toda reta, é mergulhada e sua curvatura geodésica converge para uma constante em cada fim. No cone de luz, provamos que existe uma relação entre as soluções do fluxo de curvatura e as soluções do fluxo de curvatura inversa. Mostramos que uma curva no cone de luz é uma solução autossimilar do fluxo de curvatura se, e somente se, sua função curvatura difere por uma constante do produto interno entre o seu campo tangente e um vetor fixado do espaço de Minkowski tridimensional. De modo análogo, provamos que uma curva no cone de luz é uma solução autossimilar do fluxo de curvatura inversa se, e somente se, o inverso da função curvatura difere por uma constante do produto interno entre o seu campo tangente e um vetor fixado do espaço de Minkowski tridimensional. Usando a caracterização das soluções autossimilares do fluxo de curvatura fizemos o estudo qualitativo. Provamos que, para cada vetor fixado existe uma família a 2-parâmetros de soluções autossimilares para o fluxo de curvatura e para o fluxo de curvatura inversa no cone de luz. Além disso, mostramos que nos fins de uma solução autossimilar do fluxo de curvatura em Q2 a curvatura é ilimitada ou converge para uma constante. Incluímos visualizações de sólitons no espaço hiperbólico e de soluções autossimilares no cone de luz dos fluxos de curvatura e de curvatura inversa.