A new invertible bimodal Weibull model

Abstract

A distribuição Weibull introduzida por Waloddi Weibull em 1951, é um dos modelos mais utilizados em probabilidade e estatística, pois possui uma expressão simples para a função de densidade de probabilidade (FDP), função de densidade acumulada (FDA), função de sobrevivência e momentos. No entanto, a distribuição Weibull não é capaz de ajustar dados bimodais. O livro de Rinne (2009) fornece uma descrição detalhada da distribuição Weibull de três parâmetros, desde sua introdução até suas aplicações. Nas últimas duas décadas, muitas generalizações e extensões da distribuição Weibull foram propostas a fim de fornecer maior assimetria e bimodalidade na FDP, bem como flexibilizar a função de risco (HRF) para formas não monotônicas, como banheira, unimodal, M ou N. Para essas generalizações, algumas técnicas foram aplicadas a várias outras famílias de distribuições. Dentre essas técnicas, podemos citar a família de distribuição exponencial, família de distribuição beta, família de distribuição beta modificada, família de distribuição de potência generalizada. Algumas dessas distribuições são Weibull exponencializadas (Mudholkar and Srivastava, 1993), beta-Weibull (Lee, Famoye, and Olumolade, 2007), modified Weibull (Zaindin and Sarhan, 2009), power generalized Weibull (Kumar and Dey, 2017) , Exponentiated Power Generalized Weibull (Pena-Ramirez et al., 2018). Todos esses modelos apresentam 3 ou mais parametros, são unimodais e possuem a distribuição Weibull como caso particular. No contexto de populações heterogêneas com duas modas, as generalizações da distribuição Weibull são recentes na literatura. Saboor et al., (2019) propuseram a distribuição modified beta modified-Weibull com seis parâmetros. Uma desvantagem desse modelo é que sua FDA não possui uma forma fechada simples. Nota-se também que uma mistura de duas distribuições Weibull é um modelo natural para capturar a bimodalidade (McLachlan and Peel, 2000), entretanto, as propriedades e o procedimento para estimar seus parâmetros podem dificultar suas aplicações Recentemente, Vila e Çankaya (2021) usaram uma técnica de transformação quadrática para gerar uma distribuição Weibull bimodal. Este modelo é uma mistura de três distribuições Weibull. A FDA é expressa em termos da função incompleta Gama. Ou seja, suas funções FDA e quantil não possuem formas fechadas, que seriam muito úteis para procedimentos como simulação e cálculos de medidas de risco. Neste trabalho, propomos uma nova generalização da distribuição de Weibull. Dois modelos são apresentados, Weibull Bimodal Invertível (IBW) e seu caso particular, Weibull Bimodal Invertível Não Negativa (NNIBW). Em ambos os modelos, a FDP apresenta várias formas de assimetria. A FDA tem uma expressão fechada simples e invertível, então sua função quantil também possui uma fórmula fechada simples. Isso torna o modelo atrativo para ser usado em procedimentos de simulação, regressão e cálculo de medidas de risco em diversas áreas. Por exemplo, em finanças para o cálculo do Value at Risk (VaR), em hidrologia para o cálculo do tempo de retorno (RT) e em confiabilidade para o cálculo da HRF. O HRF pode assumir formas monótonas, unimodais, banheira ou em forma de N. Na seção 1.2, é apresentada os modelos IBW e NNIBW, assim como seus cálculos e definições importantes, suas funções densidade de probabilidade, além de materiais como momentos, função quantil, estatísticas de ordem, sobrevivência e funções de risco. Na seção 1.3, é detalhada a função de máxima verossimilhança para o modelo NNIBW, que é utilizada para a estimação dos parâmetros do modelo, em seguida a performance do modelo é testada e detalhada via simulações Monte Carlo para 14 conjuntos de valores dos parâmetros da distribuição. Utilizando o Erro Quadrático Médio (EQM), a distribuição apresentou bons resultados para a simulação. Finalmente, na seção 1.4, o modelo é utilizado para analisar 4 conjuntos de dados reais referentes a temperatura ao longo de diferentes períodos. Para cada local, é feita uma transformação exponencial na variável da temperatura a fim de obter dados não negativos. Os modelos NNIBW e BWeibull (Vila and Niyazi Çankaya, 2021) são ajustados para cada conjunto de dados e graficamente nota-se um melhor ajuste bimodal da distribuição proposta. Também é detalhada a série temporal de cada localidade, suas funções acumuladas empíricas e teóricas, os quantis e por fim, as tabelas e gráficos de tempo de retorno das variáveis originais e ajustadas. O modelo de regressão é ajustado para os dados da cidade de Yellowknife, utilizando as estações do ano como covaráveis. O modelo permite explicar a relação e influência da variável explicativa como evento de interesse, neste caso, as estações se mostraram tanto unimodais quanto bimodais, suas modas são explicadas pela variação de temperatura nas estações de transição primavera e o outono. Os resultados mostraram um desempenho satisfatório do modelo NNIBW para dados bimodais, sua função de forma fechada torna o modelo vantajoso para mais estudos em dados desta natureza em trabalhos futuros.