Identification and synchronization of chaotic and hyperchaotic systems using Lyapunov Stability Theory

Abstract

A identificação e sincronização de sistemas caóticos têm tido aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento, como engenharia, medicina, economia e biologia. Geralmente os esquemas de identificação e sincronização de sistemas caóticos objetivam garantir que os erros de identificação e sincronização tendam a zero, ou que pelo menos sejam limitados. Para tanto, utiliza-se a Teoria da Estabilidade de Lyapunov. Em muitos trabalhos, é comum que algumas considerações simplificadoras sejam feitas para facilitar esta análise de estabilidade. Por exemplo, dentre essas simplificações assume-se a inexistência de distúrbios na análise de convergência e estabilidade. Assim, muitos trabalhos apresentam diversas contribuições recentes, mas muitos deles apresentam possibilidades de melhoria. Na área de identificação, a principal possibilidade de melhoria encontrada foi à falta de um parâmetro de projeto que permitisse controlar a duração do transiente. Na área de sincronização caótica, poucos trabalhos foram encontrados sobre a sincronização subatuada de sistemas caóticos e, nenhum, de sincronização projetiva subatuada de sistemas hipercaóticos que considerassem a presença de distúrbios. Desta forma, nesta tese de doutorado, pretende-se propor esquemas de identificação e sincronização de sistemas caóticos que preencham as lacunas mencionadas. Assim, são apresentadas contribuições originais para o estado da arte na área identificação e sincronização de sistemas caóticos e hipercaóticos subatuados. No capítulo 1 há a organização do trabalho, motivações, contribuições, objetivos e publicações. Considera-se no capítulo 2 a identificação, uma vez que para se obter um controle com elevado desempenho se requer geralmente bons modelos. Então, é proposto um esquema baseado em redes neurais para a identificação de sistemas caóticos gerais. Este esquema é unificado no sentido que permite a utilização de modelos para identificação paralelos e serie-paralelos. Convêm ressaltar que modelos paralelos são especialmente indicados quando se requer estimação de estados que não são disponíveis para medida. Com base na teoria de estabilidade de Lyapunov é provado que os erros de estimação são limitados e que podem ser reduzidos arbitrariamente a partir de parâmetros de projeto. Adicionalmente, o método permite um ajuste da duração do transiente de forma independente do ajuste do erro em regime. Esta característica torna o esquema especialmente relevante em situações reais onde a qualidade do controle está fortemente relacionada com o ajuste destes parâmetros. Dois sistemas caóticos de grande relevância são utilizados para validar os resultados: um sistema de soldagem e um sistema hipercaótico financeiro. O capítulo 3 consiste na proposição de um algoritmo para sincronização subatuada do sistema caótico de Lorenz. Esse algoritmo é definido com base na teoria de estabilidade de Lyapunov e se caracteriza por necessitar apenas de um sinal de controle escalar para implementar a sincronização. Outra vantagem comparativa em relação ao que existe na literatura é a consideração da presença de distúrbios em todos os estados para a análise de convergência e estabilidade. Objetivando-se ressaltar a aplicação do algoritmo proposto, considera-se o caso de comunicação segura na presença de distúrbios. O capítulo 4 considera a sincronização de um sistema caótico de forma circuital. Foi projetada uma lei de controle escalar para sincronizar este sistema usando-se a teoria de estabilidade de Lyapunov e considerando distúrbios em todos os estados. Desta forma foi mostrado que os erros de sincronização convergem para uma região limitada cujo raio depende dos distúrbios em todos os estados. Para validar esta proposta em uma situação realista, foi implementado o circuito eletrônico correspondente e testado. Os resultados mostraram que o sincronizador é robusto na presença de distúrbios e que o algoritmo proposto poder ser utilizado com confiabilidade na codificação e decodificação de mensagens. No capítulo 5 é considerada a sincronização de um sistema hipercaótico de Lü. Esse sistema é interessante, pois tem uma dinâmica mais rica que os sistemas caóticos anteriormente estudados por se tratar de um sistema com dois exponentes de Lyapunov positivos. Logo, esse sistema é mais adequado para comunicação segura. Contudo, por se tratar de um sistema 4D o projeto do esquema de sincronização é desafiador. Desta forma, pelo uso de um procedimento de engenharia reversa, foi determinado que seria necessária somente uma atuação no segundo estado. Definida, então, a forma de atuação e sua localização, com base na teoria de estabilidade de Lyapunov foi provado que um controle escalar no segundo estado permite assegurar um erro de sincronização convergente para uma região limitada cujo raio depende, entre outros, dos distúrbios. O esquema foi testado através de extensas simulações e implementado através de eletrônica analógica. No capítulo 6 objetivando-se estender a aplicação a situações mais gerais, é considerada a sincronização projetiva em tempo finito de um sistema hipercaótico. Este sistema foi proposto em 2019 e é particularmente desafiador devido à sua complexidade estrutural. Com base em um procedimento de engenharia reversa foi determinado que fosse necessária apenas dois sinais de controle. Usando-se dois sinais de controle, no primeiro e quarto estado, foi possível mostrar através da teoria de estabilidade de Lyapunov que o erro de sincronização é convergente em tempo finito para uma região limitada, mesmo com a presença de distúrbios em todos os estados. Extensivas simulações foram realizadas empregando Matlab/Simulink para validar o esquema proposto. No capítulo 7 se estabelece as conclusões e trabalhos futuros. No primeiro apêndice há uma seção de conhecimentos preliminares e no segundo há os códigos utilizados nas simulações