Processos estocásticos em física : teoria e fundamentos

Abstract

Este trabalho formula diversos problemas em física na linguagem de processos estocásticos. Primeiramente, tratamos da representação de processos Markovianos e a relação entre as formulações de equação mestra, integrais funcionais e processos de saltos. Utilizando estes formalismos, se discute a aplicabilidade do modelo de Langevin a sistemas moleculares. Verifica-se que esse modelo é inapropriado para descrever a interação de uma partícula Browniana com um gás de esferas rígidas. A discrepância com relação ao modelo exato é menos acentuada se a massa da partícula Browniana for muito maior que a massa das partículas que formam o gás. A equação de Langevin generalizada, que trata de sistemas não-Markovianos, também é discutida. Novamente, se levantam algumas críticas quanto à sua aplicabilidade a sistemas moleculares. Em especial, mostramos que o teorema de flutuação e dissipação normalmente invocado nesse formalismo pode ser violado em um sistema físico simples. Finalmente, se formula um método de inferência de tendências em séries temporais utilizando o formalismo de processos Gaussianos. Ao contrário de outros métodos comuns, como as médias móveis, obtemos tanto o valor esperado para tendência quanto o erro associado à esta inferência. O cálculo é feito utilizando o formalismo de integrais de trajetória que evita algumas computações caras normalmente associadas à inferência com processos Gaussianos. Esse procedimento é possível se a taxa de amostragem for alta o suficiente para que seja possível aproximar a série temporal observada por uma trajetória contínua. _________________________________________________________________________________________ ABSTRACT

This work discusses some problems in physics using the language of stochastic processes. Firstly, we discuss the relationships between the formalisms of master equations, path integrals, and jumping processes. Each of them is a different prescription to define a Markovian process. Using these formalisms, we discuss the applicability of the classic Langevin model to molecular systems. We show that this model is inadequate to describe the interaction of a Brownian particle with a gas of hard spheres. The discrepancy with respect to the exact solution is ameliorated if the mass of the Brownian particle is much bigger than the mass of the particles in the gas. The generalized Langevin equation that describes non-Markovian systems is also discussed. Again, we raise a criticism to its relevance in the description of molecular systems. In special, we show a simple physical system that violates the fluctuation dissipation theorem. Finally, the we present a method of inferring tendencies from time series data. Differently from other common methods, e.g., moving averages, we obtain both the expected value for the tendency and the associated error. The calculation is done using path integrals and avoids some expensive computations commonly associated to other similar methods such as Gaussian process regression. This procedure is feasible if the sampling rate is high enough in order to be possible to approximate the time series data by a continuous function.