On the maximum principle and the Ricci flow

Abstract

Nesta dissertação, será apresentado um estudo sobre o princípio do máximo para escalares e fibrados vetoriais sobre variedades compactas e algumas aplicações sobre o fluxo de Ricci, tendo como objetivo final demonstrar importantes resultados obtidos em 1982 por Richard Hamilton. Iremos introduzir o fluxo de Ricci, calcular as equações de evolução de importantes objetos geométricos, demonstrar a existência e unicidade local do fluxo e procurar compreender os obstáculos para existência para todo tempo. Por fim, comentaremos o principal resultado do artigo de Richard Hamilton, que afirma que toda variedade Riemanniana de dimensão 3 compacta e sem bordo com curvatura de Ricci estritamente positiva admite uma métrica com curvatura seccional positiva constante e, portanto, é difeomorfa à esfera tridimensional (caso seja simplesmente conexa) ou ao quociente da esfera por algum grupo finito de isometrias agindo livremente na variedade. Os resultados apresentados apareceram em artigos publicados e esta dissertação é majoritariamente baseada nos artigos de 1982 e de 1984 de Richard Hamilton, nas notas sobre o fluxo de Ricci de Petter Topping e no livro de Bennet Chow e Dan Knopf sobre o fluxo de Ricci, assim como seus volumes subsequentes.