Centralizadores em grupos de torção residualmente finitos - Um estudo via Métodos de Lie

Abstract

Construções dadas por N. Gupta e S.N. Sidki em [6] mostram que um grupo de torção residualmente finito não necessariamente é localmente finito. Um questionamento natural, portanto, é o seguinte: Sob quais condições pode-se concluir que um grupo de torção residualmente finito é localmente finito? Os trabalhos de V.P. Shunkov [32] e B. Hartley [8, 9] evidenciam que uma ferramenta próspera no estudo de grupos de torção é impor condições sobre centralizadores. Shunkov prova, por exemplo, que se G é um grupo de torção possuindo uma involução g tal que CG(g) é finito, então G é localmente finito. Utilizando Métodos de Lie, A. Shalev prova no artigo Centralizers in residually finite torsion groups [28], referência principal deste trabalho, que se G é um grupo de torção residualmente finito, sem 2–elementos, que é agido por um 2–grupo finito Q de modo que CG(Q) é solúvel ou tem expoente finito, então G é localmente finito. Na classe dos grupos residualmente–(finito nilpotente), A. Shalev obtém em [28] o seguinte resultado mais forte: se G é um grupo de torção residualmente–(finito nilpotente), sem 2–elementos, que é agido por um 2–grupo finito Q de modo que CG(Q) satisfaz uma identidade não trivial de grupo, então G é localmente finito. A. Shalev ainda generaliza em [28] o resultado de Shunkov provando que se G é um grupo de torção residualmente finito possuindo um 2–subgrupo finito Q tal que CG(Q) é finito, então G é localmente finito.