A demanda por demonstrações de consistência nos fundamentos da matemática

Abstract

Este trabalho analisa o tema das demonstrações de consistência e busca elucidar questões relacionadas. Neste percurso pretendemos analisar os limites da consistência, como podemos pensar esta propriedade com o desenvolvimento da lógica matemática e sua relação com a verdade da teoria. Usualmente, a consistência é uma propriedade esperada em toda teoria que se propõe verdadeira. Por outro lado, a partir das formalizações das teorias uma demanda por demonstrações de consistência surge como proposta de validação de sistemas formais. O problema da consistência se coloca no contexto da crise dos fundamentos da matemática e uma resposta para a crise é a busca por rigor através da formalização. Portanto vamos abordar o tema dos sistemas formais, apresentando a noção de redução finitária da matemática. A pedra de toque da teoria dos sistemas formais, os teoremas de Gödel, parecem sugerir duas possibilidades de interpretação: limitam ou esclarecem o conceito de demonstrações de consistência. Finalmente, analisamos três casos de demonstrações: a lógica de primeira ordem, a aritmética de Robinson e a aritmética de Peano. Como resultado deste percurso podemos sugerir uma compreensão dos sistemas formais em que a possibilidade de inconsistência não deve ser eliminada e sim garantida.