Polinômios centrais em algumas álgebras associativas e representações de grupos

Abstract

Neste trabalho estudamos os polinômios centrais das álgebras de Grassmann. Seja H uma álgebra de Grassmann não unitária de dimensão infinita, sobre um corpo infinito de característica prima p > 2. Seja C o espaço vetorial dos polinômios centrais de H. Nosso resultado principal é: C não é finitamente gerado como T-espaço. Este é o primeiro exemplo conhecido de uma álgebra associativa cujos polinômios centrais não possuem um conjunto gerador finito. Determinamos o conjunto de geradores de C, a saber P = {(x1; x2) + T(H); (x1, x2) ...(x2q-1, x2q)x1 p- 1 ...x2q p-1 + T(H) | q ϵ N}, onde T(H) denota o T-ideal de identidades polinomiais satisfeitas por H. Observamos que em 2000, Shchigolev [64] demonstrou que o T-espaço gerado por P não é finitamente gerado. Nossa contribuição foi demonstrar que o T-espaço gerado por P coincide com C. Determinamos também conjuntos de geradores dos T-espaços dos polinômios centrais das álgebras de Grassmann não unitárias de dimensão finita, sobre um corpo finito de característica p > 2. Além disso, apresentamos um exemplo de um subespaço vetorial verbal limite, em uma álgebra de um grupo relativamente livre, sobre um corpo de característica p - 2. _______________________________________________________________________________________ ABSTRACT

In this w ork w e study the central poly nomials of the Grassmann algebras. Let H be an infinite dimensional non-unitary Grassmann algebra over an infinite field of a prime characteristic p > 2. Let C be the vector space of the central polynomials of H. Our main result is as follow: C is not finitely generated as a T-space. This is the first example of an associative algebra whose central polynomials have no finite set of generators. Let P = {(x1; x2) + T(H); (x1, x2) ...(x2q-1, x2q)x1 p- 1 ...x2q p-1 + T(H) | q ϵ N}, where T(H) stands for the T-ideal of the polynomial identities of H. We have proved that the set P generates C as a T-space. In 2000 Shchigolev [64] proved that the T-space generated by P is not finitely generated. Our contribution is as follow s this T-space generated by P coincides with C. We have also found sets of generators for the T-spaces of central polynomials of finite dimensional non-unitary Grassmann algebras over an infinite field of characteristic p > 2. Moreover, we give an example of a limit verbal vector space in a group algebra of a relatively free group over a field of characteristic p = 2.