Automorfismos coprimos de 2-grupos finitos

Abstract

A presente dissertação tem por base os trabalhos de M. Isaacs e G. Navarro [5] e de Z. Marciniak [7]. Suponhamos que um p0 -grupo finito K age por autormorfismos sobre um p-grupo finito P e vamos discutir sobre hipóteses que garantem que K age trivialmente sobre P. Em [4] é apre- sentado um resultado que assegura que, se P é abeliano e K fixa todos os elementos de ordem p em P, então K age trivialmente sobre P e que, se, além disso, o primo p é diferente de 2, então a hipótese de P ser abeliano não é necessária. Mas se p = 2 e temos apenas que K fixa todos os elementos de ordem 2 em P, não podemos concluir que a ação de K sobre P é trivial. No caso de p = 2, por [2], é conhecido que se K fixa todos os elementos de ordem 2 e todos os elementos de ordem 4 em P, então K age trivialmente sobre P e por [8], sabemos que se K fixa todos os elementos racionais de P, então a ação de K sobre P é trivial. Em 2010, M. Isaacs e G. Navarro, demonstram que se K fixa, além de todos os elementos de or- dem 2, todos os elementos reais de ordem 4 em P, então K age trivialmente sobre P. A demonstração por eles apresentada usa recursos de teoria de caracteres e, além disso, os autores ressaltam que até aquele momento não viam como mostrar a veracidade do resultado sem utilizar caracteres. No entanto, Marciniak, em [7], consegue demonstrar este resultado sem recorrer a caracteres. ______________________________________________________________________________ ABSTRACT

his dissertation is based on the works of M. Isaacs and G. Navarro [5] and Z. Marciniak [7]. Suppose that a finite p0-group K acts by automorphisms on a finite p-group P and go to debate above hypothesis that guaranteeb that K acts trivially on P. In [4] is presented a result that affirm that if P is an abelian group and K fixes all elements of order p in P, then K acts trivially on P e that, if, moreover, the prime p is other than 2, then it is not necessary to assume that P is abelian. However if p = 2 and we only suppose that K fixes all elements of order 2 in P, then we cannot conclude that the action of K on P is trivial. In the case when p = 2, by [2], it is known that if K fixes all elements of order 2 and all elements of order 4 in P, then K acts trivially on P and by [8], known that K fixes all rational elements in P, then the action of K on P is trivial. In 2010, M. Isaacs and G. Navarro showed that if K fixes all elements of order 2 and all real elements of order 4 in P, then K acts trivially on P. They proved the result using arguments from character theory. Moreover they observed that until that moment they did not see how to show the correctness of the result without using characters. However, later Marciniak, in [7], gave an alternative proof without using characters.