Contando geodésicas em espaços simétricos compactos

Abstract

A teoria de espaços simétricos ultrapassa os limites da geometria. Apesar dos espaços simétricos serem variedades Riemannianas, os aspectos algébricos relacionados a eles são tão importantes quanto os geométricos. Descrevemos e provamos resultados sobre as álgebras ortogonais involutivas, suas decomposições e grupos de Weyl. Mostramos que a um espaço simétrico está associada, de forma natural, uma álgebra ortogonal involutiva e vice-versa. Caracterizamos a imagem inversa da exponencial Riemanniana em espaços simétricos compactos como união disjunta de órbitas focais, das quais calculamos as dimensões e contamos as componentes conexas usando o grupo de Weyl. A partir das simetrias de um espaço simétrico compacto descrevemos seus campos de Jacobi e o Locus Conjugado de um ponto. A partir de propriedades geométricas caracterizamos o Locus de Corte e, utilizando o grupo de Weyl, mostramos que o grupo fundamental é trivial se, e somente se, o Locus de corte e o Locus conjugado coincidem. Determinamos o grupo fundamental de um espaço simétrico compacto como quociente de reticulados num subespaço de Cartan da álgebra ortogonal involutiva associada. Mostramos ainda que, sob algumas hipóteses, grupos de Lie podem ser vistos como Espaços Simétricos e relacionamos os resultados apresentados ao contexto de grupos de Lie. Ao longo do texto, mostramosmos alguns exemplos para ilustrar a teoria apresentada.