Uma apresentação policíclica para o quadrado q-tensorial de um grupo policíclico

Abstract

Neste trabalho descrevemos uma apresentação policíclica para o quadrado q-tensorial não abeliano G q G de um grupo G, onde q é um inteiro não negativo. Obtemos primeiramente uma apresentação para o grupo q(G) e em seguida usamos a imersão do quadrado q-tensorial neste último grupo. A partir de uma apresentação policíclica consistente de G de nimos uma extensão q-central G q de G e provamos que esta de nição nos dá uma apresentação policíclica de G q . Usando métodos padrões para grupos policíclicos evoluimos dessa apresentação para uma apresentação policíclica consistente e provamos que o quadrado q-exterior G ^q G, o segundo grupo de homologia com coe cientes em Zq, H2(G;Zq); bem como o q-multiplicador Mq(G) de um grupo G, são isomorfos a subgrupos de G q . Isto permite calcular apresentações para esses grupos a partir da apresentação de G q. A partir da apresentação policíclica encontrada para G ^q G de nimos um grupo q(G) dado por uma apresentação policíclica e provamos que q(G) = q(G)= q(G), onde q(G) é um conveniente subgrupo central em q(G). Fazendo uma extensão q-central deste último grupo obtemos uma apresentação policíclica para o grupo q(G) e, em seguida, para o quadrado q-tensorial de G. Adicionalmente, estabelecemos um método para decidir se um grupo policíclico é capaz módulo q. Os resultados desta tese estendem métodos existentes do caso q = 0 para todo inteiro não negativo q. ______________________________________________________________________________ ABSTRACT

In this work we compute a polycyclic presentation for the non-abelian q-tensor square G q G of a group G, where q is a non-negative integer. Firstly we obtain a presentation of the group q(G) and then we use the embedding of the q-square tensor in this last group. From the consistent polycyclic presentation of G we de ne a q-central extension G q of G and prove that this de nition gives us a polycyclic presentation of G q . Using standard methods for polycyclic groups, such a presentation evolves to a consistent polycyclic presentation and thus we prove that the q-exterior square G^q G, the second homology group with coe cients in Zq, H2(G;Zq); and the q-multiplier Mq(G); of a group G; are all isomorphic to certain subgroups of G q. This provides us with presentations for these groups from the presentation of G q . From the polycyclic presentation found for G ^q G we de ne a new group q(G) given by a polycyclic presentation and prove that q(G) = q(G)= q(G), where q(G) is an appropriate central subgroup of q(G): Finally, by mean of a convenient q-central extension of q(G) we obtain a polycyclic presentation of q(G), from which we get a presentation for the q-tensor square of G. Aditionally, we establish a method to decide whether a polycyclic group is capable modulo q. The results in this thesis extend existing methods from the case q = 0 to all non-negative integers q.