Equações semilineares com potenciais que mudam de sinal com espectro negativo e positivo

Abstract

Neste trabalho, estudamos a existência de solução não trivial para a equação não linear de Schrödinger −∆u+V(x)u = f(u), em R N (P) com u ∈ H 1 (R N )\{0}, em que N ≥ 3, e V é um potencial que muda de sinal e possui limite positivo no infinito. Primeiramente, obtemos uma solução positiva de energia mínima e uma solução nodal para o problema (P), com V satisfazendo condições definidas e f sendo uma função superlinear com crescimento subcrítico. A existência dessa solução foi garantida utilizando técnicas variacionais combinadas com o Princípio de Concentração e Compacidade de Lions. As provas baseiam-se na localização do ínfimo do funcional associado restrito a conjuntos do tipo Nehari. Na sequência estudamos o mesmo problema, mas considerando agora V como sendo um potencial não periódico e a não linearidade f tendo comportamento assintoticamente linear no infinito. Neste caso, a mudança de sinal do V resulta que o espectro do operador L = −∆+V tem ínfimo negativo. Para existência de uma solução fraca não trivial, utiliza-se a teoria espectral e pelas interações entre soluções transladadas do problema no infinito tem-se que o problema satisfaz a geometria do Teorema de Linking com a condição de Cerami.