Some Caffarelli-Kohn-Nirenberg's type problems in RN

Abstract

Nesse trabalho, provamos alguns resultados referentes a problemas do tipo Ca arelliKohn-Nirenberg em R N . No primeiro capítulo, provamos a existência de soluções não-triviais com não-linearidades do tipo Berestycki-Lions usando o Teorema do Passo da Montanha, o Princípio Variacional de Ekeland e um resultado de compacidade do tipo Strauss. Mais precisamente, estudaremos a seguinte classe de problemas −div |x| −ap|∇u| p−2∇u

+ |x| −bp∗ |u| p−2u = |x| −bp∗ h(u), em R N , (PM) e −div |x| −ap|∇u| p−2∇u

= |x| −bp∗ f(u), em R N , (ZM) onde 1 < p < N, 0 ≤ a < N−p p , a < b ≤ a + 1, p ∗ = p ∗ (a, b) = pN N−dp e d = 1 + a − b. No segundo capítulo, provamos a existência e concentração de soluções ground state para uma classe de problemas subcrítico, crítico ou supercrítico do tipo Ca arelli-KohnNirenberg usando o Teorema do Passo da Montanha e o método de Iteração de Moser. Mais precisamente, estudaremos a seguinte classe de problemas quasilineares −div |x| −ap|∇u| p−2∇u

+ |x| −bp∗ [1 + µV (x)]|u| p−2u = |x| −bp∗ [f(u) + %|u| σ−2u], (Pµ,%,σ) em R N , onde 1 < p < N, 0 ≤ a < N−p p , a < b ≤ a + 1, p ∗ = p ∗ (a, b) = pN N−dp , d = 1 + a − b e µ > 0. No terceiro capítulo, provamos as existências de soluções ground state positiva e nodal minimizando o funcional na variedade de Nehari e em um subconjunto da variedade de Nehari para a seguinte classe de problemas do tipo Ca arelli-Kohn-Nirenberg −div |x| −ap|∇u| p−2∇u

+ |x| −bp∗ V (x)|u| p−2u = |x| −bp∗ K(x)f(u), em R N , (P) onde 1 < p < N, 0 ≤ a < N−p p , a < b ≤ a + 1, p ∗ = p ∗ (a, b) = pN N−dp e d = 1 + a - b.