Bifurcações estocásticas de n pontos para dinâmicas Markovianas

Abstract

Um fluxo Browniano é, sob algumas condições, determinado por sua média e covariância infinitesimais (vide [16, capítulo 4]), ou seja, os processos de 1 e 2 pontos determinam o movimento de N pontos, N > 2. Entretanto, para processos Markovianos, em geral, esse resultado não é válido. Assim, o objetivo deste trabalho é explorar resultados relacionados ao conceito de bifurcação estocástica apresentado por Högele e Ruffino[11] e da Costa, Högele e Ruffino[7], estudando seus exemplos e teoremas. Esse conceito estende a noção clássica de bifurcação para dinâmicas estocásticas apresentada em Arnold[3], generalizando-a para o contexto de dinâmicas Markovianas de N pontos. Essas dinâmicas surgem a partir do fluxo induzido no espaço produto, isto é, tal fluxo representa o processo de N pontos associado e o interesse em estudá-las se deve ao fato de que esse contexto fornece informações que, em geral, não podem ser observadas com o movimento de 1 ponto. Na teoria clássica determinística uma bifurcação ocorre quando uma mudança no parâmetro altera o suporte da media invariante associada ao fluxo, por exemplo, quando ocorre a separação do suporte em dois domínios invariantes e desconexos (como referência para a teoria clássica de sistemas dinâmicos veja Katok e Hasselblatt[15], onde a definição de bifurcação é dada em termos da ruptura topológica do suporte das medidas invariantes). Em sistemas gerados por equações diferencias estocásticas as bifurcações podem ser estudas seguindo esta mesma ideia (veja por exemplo, [3]), entretanto essa ruptura topológica da medida ocorre em diferentes níveis. Além disso, diferentemente do caso estocástico explicado em [6], no caso determinístico a medida invariante é estendida de modo natural ao espaço produto como sendo a respectiva medida produto. O ponto central do trabalho está ligado à discussão da rigidez imposta pelo fluxo Browniano pois, como demonstrado em [16], a Gaussianidade do fluxo garante uma dependência de modo que o movimento de N pontos fica completamente conhecido a partir das leis de 1 e 2 pontos. Por outro lado, retirando-se a continuidade do fluxo, o chamado fluxo de Lévy, não há razões, a princípio, para esperar que esse mesmo resultado (veja por exemplo [2, 8, 9, 17]). Logo, a questão natural que surge é saber quantos níveis são necessários para se determinar um fluxo de Lévy em geral. Esta dissertação trabalha esta questão para cadeias de Markov em espaços de estados finitos aborda, sendo baseada nos resultados apresentados em [11] e [7]. Assim, este trabalho está organizado da seguinte forma: no Capítulo 1 foi feito um esforço de concatenação de resultados afim de que o trabalho se torne autocontido num contexto de primeira leitura e também uma tentativa de incentivar a busca em detalhes desses conceitos nas referencias nele deixadas. Já no Capítulo 2 serão definidos um sistema homogêneo de Markov e uma bifurcação estocástica de n pontos, a qual ocorre no contexto de um sistema de Markov. O Capítulo 3 será destinado à apresentação de exemplos de fluxos estocásticos onde ocorre uma bifurcação para n > 2, incluindo o exemplo mínimo, ou seja, o menor número de pontos necessários para haver uma bifurcação de 3 ou mais pontos, enquanto o Capítulo 4 discutirá formas de determinar o nível em que uma bifurcação acontece.