Sobre grupos finitos admitindo automorfismos coprimos

Abstract

Seja 𝐺 um grupo finito admitindo um automorfismo 𝜑. Denote por 𝐺𝜑 o centralizador de 𝜑 em 𝐺 e por 𝐺−𝜑 o conjunto 𝑥 −1𝑥 𝜑 𝑥 ∈ 𝐺}. O subgrupo gerado por 𝐺−𝜑 será denotado por [𝐺,𝜑]. Existem vários estudos que mostram a relação entre a estrutura do grupo 𝐺 e propriedades dos 𝐺𝜑 e 𝐺−𝜑. Neste trabalho, apresentamos resultados limitando o expoente de 𝐺 e [𝐺,𝜑]. Eles estão concentrados em grupos finitos que admitem um automorfismo coprimo, com atenção especial para grupos de ordem ímpar que admitem um automorfismo involutório. Assim, se 𝐺 é um grupo finito de ordem ímpar admitindo um automorfismo involutório 𝜑, os seguintes resultados foram obtidos: suponha que 𝐺𝜑 é nilpotente de classe 𝑐. Se 𝑥 𝑒 = 1 para cada 𝑥 ∈ 𝐺−𝜑 e o subgrupo < 𝑥, 𝑦 > tem comprimento derivado no máximo 𝑑 para todos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺−𝜑, então o expoente de [𝐺,𝜑] é limitado em termos de 𝑐, 𝑑 e 𝑒. Além disso, se 𝐺𝜑 tem posto 𝑟 (ver Definição 1.1.27) e 𝑥 𝑒 = 1 para cada 𝑥 ∈ 𝐺−𝜑 , então o expoente de [𝐺,𝜑] é limitado em termos de 𝑒 e 𝑟. Agora, supondo que 𝐺 é um grupo finito admitindo um automorfismo coprimo 𝜑 de ordem 𝑛. Provamos que se todo elemento de 𝐺𝜑 ∪ 𝐺−𝜑 pertence a um subgrupo 𝜑-invariante de expoente dividindo 𝑒, então o expoente de 𝐺 é limitado em termos de 𝑒 e 𝑛. Para a demonstração deste resultado foram utilizadas ferramentas Lie-teóricas desenvolvidas por Zelmanov. Além disso, estendemos o primeiro resultado: suponha que 𝐺𝜑 é nilpotente de classe 𝑐. Se 𝑥 𝑒 = 1 para cada 𝑥 ∈ 𝐺−𝜑 e quaisquer dois elementos de 𝐺−𝜑 pertencem a um subgrupo solúvel 𝜑-invariante de comprimento derivado 𝑑, então o expoente de [𝐺,𝜑] é limitado em termos de 𝑐, 𝑑, 𝑒 e 𝑛.