Representação matemática do comportamento mecânico cíclico de solos saturados e não saturados

Abstract

Materiais granulares, como os solos, apresentam um comportamento mecânico relativamente complexo. Usualmente, o comportamento mecânico de solos é estudado com o auxílio da Mecânica dos Meios Contínuos. Materiais submetidos a carregamentos cíclicos apresentam comportamento mecânico diferenciado, com relação a carregamentos monotô- nicos. A teoria matemática da elastoplasticidade tem sido empregada na simulação numé- rica do comportamento de solos. Em simulações com carregamentos cíclicos, o conceito de subcarregamento é útil na representação da transição elástica-plástica. O conceito de vari áveis internas é fundamental na criação de leis com memória de características internas. As equações resultam num Sistema Algébrico de Equações Diferenciais (DAS) que pode ser resolvido pelo método Runge-Kutta. Quatro esquemas são analisados: a) Forward- Euler (FE), explícito de primeira ordem b) Backward-Euler (BE), implícito de primeira ordem; c) Modi ed-Euler (ME), explícito de segunda ordem e d) Runge-Kutta-Dormand- Prince (RKDP), explícito de quinta ordem. Os esquemas Runge-Kutta embedded , como o ME e RKDP, são úteis na elaboração de algoritmos que determinam automaticamente o tamanho dos subpassos. Estes são necessários para garantir a acurácia e, no caso do esquema BE, a convergência. Critérios de ruptura são considerados na construção de modelos constitutivos. Para solos, os mais comuns são Mohr-Coulomb, Lade-Duncan e Matsuoka-Nakai. O critério Matsuoka-Nakai pode ser considerado mediante a equação apresentada por Sheng et al. (2000) e que tem origem no trabalho de Argyris et al. (1974). Dois novos critérios são introduzidos: um para materiais isotrópicos, com caracter ísticas similares ao critério de Lade-Duncan, e outro para materiais granulares com anisotropia inerente e/ou induzida. O Algoritmo Genético Evolutivo (AGE) é empregado na determinação de parâmetros constitutivos. Para isso, os parâmetros são reunidos em indivíduos por meio de funções de representação. A evolução dos indivíduos leva aos melhores parâmetros para um conjunto de ensaios experimentais. Ilhas de indivíduos ajudam a manter uma diversidade dos indivíduos. O modelo Subloading tij (Subtij) de Nakai & Hinokio (2004) é revisto e suas equações são deduzidas dentro da estrutura da elastoplasticidade com subcarregamento. Com isso a integração numérica do DAS correspondente pode ser facilmente realizada com os esquemas Runge-Kutta. Um novo modelo para solos saturados e carregamentos cíclicos é introduzido. Este modelo, denominado Subloading Cam-clay (SubCam), tem origem nas idéias do modelo Subtij e no conceito de subcarregamento. O modelo SubCam é capaz de representar algumas características de solos. Dois modelos para solos não saturados são apresentados. O primeiro, denominado Barcelona Estendido (BarcelonaX) é uma extensão simples do modelo Barcelona (BBM) de Alonso et al. (1990), tendo as mesmas características que o BBM, com exceção à representa ção da resistência. Esta considera a dependência do ângulo de Lode, similarmente ao critério de Matsuoka-Nakai. O segundo, denominado Subloading Barcelona (SubBar), é uma extensão do modelo BarcelonaX com a adição do conceito de subcarregamento. Com isto, ele tem capacidade de representar o comportamento mecânico para carregamentos cíclicos. O modelo BarcelonaX introduz um novo parâmetro que controla a suavização da única superfície no espaço tensão/sucção. O modelo SubBar adiciona dois parâmetros, em que cada um controla a variação da exibilidade para ciclos de tensão ou sucção. __________________________________________________________________________________ ABSTRACT

Granular materials, such as soils, exhibit a relatively complex mechanical behaviour. Usually, the mechanical behaviour of soils is studied with the aid of the Continuum Mechanics. Materials under cyclic loadings exhibit a di erent mechanical behaviour, with respect to monotonic loadings. The mathematical theory of elastoplasticity has been employed to the numerical simulation of the behaviour of soils. For cyclic loadings, the concept of subloading is a useful tool to represent the elastic-plastic transition. The concept of internal variables is essential to the elaboration of laws which memorize the internal features of the material. The resulting equations form a Di erential Algebraic System (DAS) which may be solved by the Runge-Kutta method. Four schemes are analysed: a) the explicit rst order Forward-Euler (FE); b) the implicit rst order Backward-Euler (BE); c) the explicit second order Modi ed-Euler (ME); and c) the explicit fth order Runge-Kuta-Dormand-Prince (RKDP). The embedded Runge-Kutta schemes, like ME and RKDP, are useful to the elaboration of algorithms which automatically determine the substep size. These substeps are necessary to increase the accuracy and, in the case of BE scheme, to assure the convergence. Failure criteria are considered by constitutive models. For soils, the Mohr-Coulomb, Lade-Duncan and Matsuoka-Nakai are commonly adopted. The Matsuoka-Nakai criterion may be considered by means of an equation presented by Sheng et al. (2000) and which has roots in a work of Argyris et al. (1974). Two new criteria are presented: one for isotropic materials, with similar characteristics to that of Lade-Duncan criterion, and other for materials with inherent and/or induced anisotropy. The Evolutionary Genetic Algorithm (EGA) is employed to the determination of constitutive parameters. For that, the parameters are grouped into individuals by means of representation functions. The evolution of individuals leads to the best parameters for a set of experimental results. Islands of individuals help to keep the diversity of individuals. The subloading tij model (Subtij) of Nakai & Hinokio (2004) is reviewed and its equations are deduced under the framework of elastoplasticity. Therefore, the solution of the corresponding DAS may be done with Runge-Kutta schemes. A new model for saturated soils subjected to cyclic loadings is introduced. This model, named Subloading Cam-clay (SubCam), was originated with some ideas of the Subtij model and considering the subloading concept. The SubCam model can represent the cyclic behaviour of soils. Two models for unsaturated soils are presented. The rst one, named Extended Barcelona (BarcelonaX) is a simple extension to Barcelona model (BBM) of Alonso et al. (1990), which has the same characteristics of BBM, with the exception of the shear strength representation. This considers the in uence of Lode angle, similarly to Matsuoka-Nakai criterion. The second model, named Subloading Barcelona (SubBar), is an extension to the BarcelonaX model which adds the concept of subloading, therefore, this model is able to represent the cyclic behaviour. BarcelonaX model adds a new parameter to control the unique surface in the stress/suction space and SubBar model adds two new parameters to control the decrease of exibility due to suction and/or stress cycles.