Finite groups of bounded rank admitting an almost regular automorphism : a lie-theoretic approach

Abstract

Seja G um grupo finito admitindo um automorfismo coprimo φ com exatamente m pontos fixos. Ao longo dos anos, estudou-se a influência do subgrupo dos pontos fixos de φ sobre a estrutura de G. Por exemplo, o célebre teorema de Thompson [29] garante que, quando a ordem de φ é um primo p e m = 1, então G é nilpotente; em [11] Higman prova que existe uma cota superior para a classe de nilpotência de G que depende só de p. O objetivo do presente texto é discorrer sobre resultados similares, mas concernindo o comprimento derivado de um grupo solúvel em vez da classe de nilpotência. As condições sobre a ordem de φ são essenciais em muitos resultados. Entretanto, em [27], Shalev encontra uma substituta conveniente para as hipóteses sobre a ordem de φ: conhecer o posto de G. Nesse contexto, Shalev prova que se G é um grupo finito de posto r que admite um automorfismo φ com m pontos fixos, então existe um subgrupo característico solúvel H de G tal que o índice [G : H] é limitado superiormente por uma função de m e r apenas. Além disso, se φ é coprimo, isto é, se (|φ|, |G|) = 1 , o comprimento derivado dl(H) também é limitado superiormente por uma função de m e r apenas. O autor pergunta se a cota para dl(H) poderia depender apenas de r e se a condição de coprimalidade na ordem de φ poderia ser derrubada. Em [17], Khukhro responde a primeira questão, mostrando que a cota em dl(H) pode ser tomada dependendo só de r. Por fim, em [16], Jaikin-Zapirain derruba a hipótese de coprimalidade sobre a ordem de φ.