A geometria analítica como um modelo para a Geometria Euclidiana

Abstract

Este trabalho mostra, com ênfase na geometria plana, o modelo dedutivo formulado por Euclides de Alexandria pelo qual ele constrói e organiza todo o conhecimento geométrico conhecido até então. Este modelo euclidiano, chamado axiomático, com o passar dos anos revelou falhas em demonstrações de algumas proposições que são citadas e comentadas neste trabalho. As tentativas para corrigir as falhas e formalizar o modelo axiomático de Euclides, levou a um novo modelo axiomático mais formal, que corrige as falhas cometidas por Euclides e traz uma linguagem mais coerente com a proposta da matemática moderna. Tal modelo foi publicado por David Hilbert em seu trabalho Grundlagen der Geometrie, e também está presente neste trabalho. Após mostrar como a geometria euclidiana plana foi formulada em função de seus axiomas, o trabalho chega ao seu ponto principal: mostrar que a geometria euclidiana plana pode ser demonstrada na geometria sobre corpos (geometria analítica). E para isso, este trabalho disponibiliza a demonstração de todos os axiomas de Hilbert, para a geometria euclidiana plana, em um plano cartesiano sobre um corpo. Veremos que não haverá necessidade de trabalharmos sobre o corpo dos números reais para que esta geometria euclidiana plana seja demonstrada pela geometria analítica. Além disso o trabalho traz um pouco das características e propriedades de corpos e suas extensões à medida que as demonstrações se aprofundam. Chegaremos à conclusão de que todos os axiomas da geometria euclidiana plana podem ser demonstrados na geometria analítica, sobre um corpo ordenado com extensão às raízes quadradas de elementos positivos.