Superálgebras de Lie fractais de crescimento linear

Abstract

Os grupos de Grigorchuk e Gupta-Sidkides empenham um papel fundamental na teoria de grupos moderna, pois são exemplos naturais de grupos periódicos finitamente gerados autos similares. Neste trabalho, construímos exemplos análogos aos grupos referidos no campo das super álgebras de Lie. Em 2006, Petrogradsky construiu exemplos análogos para álgebras de Lie restritas em característica 2.Shestakov e Zelmanov estenderam essa contrução para característica positiva arbitrária, dando um exemplo de algebra de Lie restrita finitamente gerada com p-aplicação nil. Martinez e Zelmanov provaram que, sobre um corpo de característica zero, não é possível construir exemplos de algebras de Lie análogas aos grupos de Grigorchuk. Neste trabalho, mostramos que a extensão desse resultado para super álgebras de Lie em característica zero não é válida. Em qualquer característica, construímos uma superálgebra de Lie R com as seguintes propriedades.R tem uma Z²- graduação apropriada tal que todo elemento homogêneo é ad-nilpotente. Além disso, R tem crescimento linear e sua envoltória associativa tem crescimento quadrático. Para uma característica positiva arbitrária p, construímos também exemplos de álgebras de Lie restritas fractais de crescimento linear cujas envoltórias associativas possuem crescimento quadrático.