Argumentos combinatórios para identidades envolvendo números binomiais, de Fibonacci e de Lucas

Abstract

Considere os números de Fibonacci (Fn), os números de Lucas (Ln) e os números binomiais (C(n; k)), os fenômenos que por eles são enumerados e as principais identidades envolvendo esses números. Seguindo o trabalho de Arthur Benjamin e Jennifer Quinn [1], vamos demonstrar tais identidades mostrando que podemos contar o mesmo fenômeno de duas formas diferentes. Inicialmente vamos estudar os números binomiais, mais comuns no Ensino Médio e que estão no contexto da Combinatória, considerada pela maioria dos alunos e professores como o assunto mais difícil de entender e ensinar naquele segmento de ensino. Em seguida faremos uma abordagem combinatória de algumas identidades envolvendo números de Fibonacci e de Lucas através de um estudo das coberturas de um tabuleiro 1 x n, das palavras binárias e das composições de um inteiro positivo n. Sobre as composições, basearemos nosso trabalho no estudo feito por Hoggatt [7] para fazer as demonstrações de algumas das identidades propostas. Apresentaremos novas identidades de Fibonacci e Lucas. Finalmente faremos uma proposta de sequência didática para ser aplicada na educação básica como motivadora para o estudo da Combinatória e dos números de Fibonacci. ______________________________________________________________________________________________ ABSTRACT

Consider Fibonacci numbers (Fn), Lucas numbers (Ln) and binomial numbers (C(n, k)) and the several identities involving these numbers. Following the work of Arthur Benjamin and Jennifer Quinn [1], we will demonstrate some identities by showing that it is possible to count the same situation in two different ways. Firstly, we will study binomial numbers (which are more common in high school) which belongs to the context of Combinatorics, considered by most students and teachers as the most dificult subject to understand and teach. Then we will work on combinatorial approaches of some identities involving Fibonacci and Lucas numbers by studying coverings of a 1 x n board, binary words, and compositions of a positive integer. About compositions, our work will be based on the study by Hoggatt [7] to demonstrate some of the proposed identities. Also, shall present new identities for Fibonacci and Lucas numbers. Finally, we shall make a proposal for a teaching sequence to be applied in basic education as a motivator for the study of Combinatorics and Fibonacci numbers.